Valuación de opciones europeas mediante procesos de Lévy y transformada rápida de Fourier

Abstract

En esta investigación se presenta una metodología alterna de valuación de opciones europeas mediante el análisis de procesos de Lévy exponenciales y utilizando la transformada rápida de Fourier. En este trabajo se muestra la forma de valuación mediante esta nueva metodología para el modelo Black-Scholes, el cuál es el único modelo de Lévy exponencial continuo, y para el modelo de Merton (1976), el cual es un modelo de Lévy exponencial con una tasa de arribo de saltos finita. Asimismo se aplica la metodología de valuación de opciones mediante el uso de la transformada rápida de Fourier al modelo Varianza Gamma (VG) de Madan, Carr y Chang (1998) que es un modelo de Lévy exponencial con tasa infinita de arribo de saltos. Los modelos anteriores cuentan con formas cerradas de valuación obtenidas mediante métodos probabilísticos o de ecuaciones diferenciales parciales, sin embargo estas metodologías no nos entregan formas cerradas para modelos más complejos. Si tomamos en cuenta el hecho de que para la valuación de opciones mediante transformada de Fourier (TF) lo único que necesitamos es la función de característica de la distribución del precio logarítmico del subyacente y que existe una función característica única, conocida y con forma cerrada para cada función de densidad, entonces es posible utilizar esta metodología para intentar encontrar un método de valuación alterno y posiblemente más simple para modelos en los cuales actualmente no existe una forma cerrada. Los modelos de Black-Shcoles, Merton y de Madan, Carr y Chang son casos particulares de modelos de Lévy exponenciales más generales. Si la utilización de la TF nos permite desarrollar un método alterno para la valuación de opciones que nos entregue los mismos resultados que el utilizar las formas cerradas, entonces estaríamos en condiciones de buscar un método alterno para crear modelos de valuación que quizá sean más simples que los complejos modelos desarrollados a través de métodos probabilísticos o de ecuaciones diferenciales.